可逆馬可夫過程的L2切割現象

Abstract

有限馬可夫鏈的切割現象是一個劇烈的相變行為。假設K 是馬可夫鏈的轉置矩陣、μ是 初始分佈、π是穩定分佈。令f(m)=

μKm-π

TV 為馬可夫鏈在時間m 與穩定分佈間的全變量。 所謂的(全變量)切割現象就是指距離函數f 的相變：首先f 會維持在幾乎是最大值(1)一段時 間，接著函數值在極短的時間內遞減的很小，最後會指數收斂至0。該距離函數產生劇烈相 變的時間就是(全變量)切割時間。在馬可夫過程的計量分析裡，最令人驚訝的發現就是大多 數的模型都有切割現象的相變。第一個被觀察到的例子就是Diaconis 和Shahshahani[4]的隨 機位移(random transposition)洗牌法。在他們的文章裡，群的表現論(group representation)是第 一次被運用到機率的研究。 在這個專題計畫裡，我們將考慮可逆馬可夫過程的L2 切割。根據古典算子理論，可逆 馬可夫過程的機率分佈和穩定分佈之間的L2 距離是可以表示成一個特徵值和特徵向量的函 數。我們的目的就是藉由對這個距離函數的研究，找出L2 切割存在性的判定方法，並推導 L2 切割時間的公式。在建立一般性的理論後，我們將比較連續時間型和離散時間型的L2 切 割時間，並探討幾個機率上典型的例子。